كسور - البراونية الحركة الحركة من المتوسط

تقريب قوي للكسور حركة براونية عن طريق تحريك معدلات من المشي العشوائي بسيطة باكوتيل رياكوتيفاكوتز بمناسبة عيد ميلاده 65 تاماكيوتس زابادوس قسم الرياضيات، جامعة التقنية بودابست، إيغري ش 20-22، H إكوتيب. V م. بودابيست، 1521، هنغاري استلمت 19 كانون الأول / ديسمبر 1999، منقحة 29 آب / أغسطس 2000، قبلت 4 أيلول / سبتمبر 2000، متاحة على الإنترنت 9 شباط / فبراير 2001 الحركة البراونية الكسورية هي تعميم للحركة البنيونية العادية، وتستخدم على وجه الخصوص عندما يكون الاعتماد على المدى الطويل مطلوبا. ويرجع ذلك إلى ماندلبروت وفان نيس (سيام Rev. 10 (1968) 422) كعملية غوسية مشابهة (W) H (t) مع زيادات ثابتة. هنا التشابه الذاتي يعني ذلك. حيث H إيسين (0،1) هو معلمة هيرست من حركة براونية كسور. أف ب أعطى فارس بناء حركة براونية عادية كحد أقصى من المشي العشوائي بسيط في عام 1961. في وقت لاحق تم تبسيط أسلوبه من قبل رياكوتيفاكوتز (المشي العشوائي في البيئات العشوائية وغير العشوائية، العالم العلمي، سنغافورة، 1990) ثم من قبل شابادوس (ستوديا الخيال العلمي (هاج 31) 1996 (249ndash297). وهذا النهج طبيعي وطبيعي تماما، وبالتالي يمكن توسيعه ليشمل حالات أكثر عمومية. وبناء على ذلك، هنا نستخدم المتوسطات المتحركة لسلسلة متداخلة مناسبة من المشي العشوائي بسيطة التي تتقارب تقريبا تقريبا بشكل موحد لكسر حركة براونية على التعاقد عندما. ومعدل التقارب ثبت في هذه الحالة. حيث N هو عدد الخطوات المستخدمة للتقريب. إذا كان أكثر دقة (ولكن أيضا أكثر تعقيدا) كوملوكوتس وآخرون. (1975،1976) يستخدم بدلا من ذلك لتضمين التمشي العشوائي في حركة براونية عادية، ثم نفس النوع من المتوسطات المتحركة تتقارب تقريبا تقريبا بشكل موحد لحركة براونية كسور على الاتفاق لأي H إيسين (0،1). وعلاوة على ذلك، فإن معدل التقارب يخمن بأن يكون أفضل ما يمكن. على الرغم من أن ثبت فقط هنا. كسور حركة براونية باثويز بناء تقريب قوي المشي العشوائي المتوسط ​​المتحرك 1. كسور حركة براونية الحركة البراونية الكسور (فبم) هي تعميم حركة براونية عادية (بم) تستخدم بشكل خاص عندما يكون الاعتماد على المدى البعيد ضروريا. على الرغم من أن تاريخ فبم يمكن أن ترجع إلى كولموجوروف (1940) وغيرها، مقدمة صريحة يرجع إلى ماندلبروت وفان نيس (1968). وكانت نيتهم ​​تعريف نفسية. (t) (t0) مع الزيادات الثابتة ولكن ليست مستقلة ومع مسارات العينات المستمرة a. s. هنا التشابه الذاتي يعني أنه لأي GT0، حيث H إيسين (0،1) هو المعلمة هورست من فبم ويشير إلى المساواة في التوزيع. وأظهروا أن هذه الخصائص تميز فبم. وتقلل الحالة إلى المريخ العادي مع زيادات مستقلة، في حين أن الحالات (ريسب.) تعطي سلبا (بشكل إيجابي) الزيادات المترابطة انظر ماندلبروت وفان نيس (1968). يبدو أنه في تطبيقات فبم، الحالة هي الأكثر استخداما. أعطى ماندلبروت وفان نيس (1968) التمثيل الصريح التالي لل فمب كمتوسط ​​متحرك للمتوسط ​​العادي، ولكن من جانبين بم: حيث t 0 و (x) كحد أقصى (x، 0). ترتبط فكرة (2) بحساب التفاضل والتكامل الحتمية. التي لديها تاريخ أطول من فبم، والعودة إلى ليوفيل، ريمان، وغيرها نرى في سامكو وآخرون. (1993). وتتمثل أبسط حالة عند إعطاء دالة مستمرة f وعدد صحيح موجب. ثم الاستقراء مع التكامل من قبل أجزاء يمكن أن تظهر أن هو أمر أترياتد أنتيديريفاتيف (أو النظام لا يتجزأ) من f. ومن ناحية أخرى، فإن هذا التكامل محدد جيدا للقيم الإيجابية غير الصحيحة أيضا، وفي هذه الحالة يمكن أن يطلق عليه تكامل كسري لل f. لذلك، من الناحية النظرية، والجزء الرئيسي من (2)، هو أمر لا يتجزأ من (بالمعنى العادي غير موجود) عملية الضوضاء البيضاء W رئيس (ر). وبالتالي يمكن اعتبار فبم W (H) (t) بمثابة تعديل ثابت للزيادة في التكامل W (t) الجزئي لعملية الضجيج الأبيض حيث يكون التقريب القوي للحركة البنيانية الكسرية بتحريك متوسطات المشي العشوائي البسيط المعرف أركسيف -1008.1702 النصوص ميدياتيب الماسح الضوئي أرشيف الإنترنت مكتبة بيثون 0.3.2 مصدر arxiv. orgabs1008.1702v1 المعرف الوصول archive. orgdetailsarxiv-1008.1702 معرف تابوت تابوت: 13960t2r522g74 بي 300 أوكر أبي فينيريدر 9.0 باكوبلوكاتيون ia90570710 الحركة براونية كسور هو تعميم العادي البني الحركة، وتستخدم بشكل خاص عند الحاجة إلى الاعتماد على المدى الطويل. ويرجع سبب تقديمه الصريح إلى B. B. ماندلبروت أند J. W. فان نيس (1968) كعملية غوسية مشابهة ذاتيا و (t) مع زيادات ثابتة. هنا التشابه الذاتي يعني أن (و (أت): t غي 0) ستاكريل (و (t): t غي 0)، حيث هين (0، 1) هي معلمة هيرست من حركة براونية كسور. أف ب أعطى فارس بناء حركة براونية عادية كحد من المشي العشوائي البسيط في عام 1961. في وقت لاحق تم تبسيط أسلوبه من قبل P. ريفيز (1990) ثم من قبل المؤلف الحالي (1996). وهذا النهج طبيعي وطبيعي تماما، وبالتالي يمكن توسيعه ليشمل حالات أكثر عمومية. وبناء على ذلك، نستخدم هنا المتوسطات المتحركة لسلسلة متداخلة مناسبة من المسيرات العشوائية البسيطة التي تتقارب تقريبا تقريبا بشكل موحد مع حركة براونية كسرية على التعاقدات عند H في (ربع 1). معدل التقارب ثبت في هذه الحالة هو O (N لوغ N)، حيث N هو عدد الخطوات المستخدمة للتقريب. إذا كان أكثر دقة (ولكن أيضا أكثر تعقيدا) كوملوس، الرائد، توسنادي (1975، 1976) يستخدم تقريب بدلا من ذلك لتشمل يمشي عشوائية في حركة براونية عادية، ثم نفس النوع من المتوسطات المتحركة تقريبا تقريبا تتلاقى بشكل موحد إلى حركة براونية كسور على التعاقد لأي H في (0، 1). وعلاوة على ذلك، يتم تخمين معدل التقارب ليكون أفضل ممكن O (N لوغ N)، على الرغم من أن فقط O (N لوغ N) ثبت هنا. تيتر دو دوكومنت عنوان الوثيقة تقريب قوي من كسور حركة براونية عن طريق تحريك متوسطات من المشي العشوائي بسيطة أوتور (s) المؤلفون الانتماءات أو دو ديس أوتورس المؤلفون الانتماءات (1) قسم الرياضيات، الجامعة التقنية في بودابست، إيغري u 20-22، H p. V إم، بودابيست، 1521، هونغري رسوم أبستراكت الحركة البراونية الكسور هي تعميم الحركة البنيونية العادية، وتستخدم بشكل خاص عندما يكون مطلوبا الاعتماد على المدى الطويل. ويرجع ذلك إلى ماندلبروت وفان نيس (سيام Rev. 10 (1968) 422) كعملية غوسية مشابهة (W) H (t) مع زيادات ثابتة. هنا يعني التشابه الذاتي أن (h) (H) (أت): t0) d - (W (H) (t): t0)، حيث H (0، 1) هي معلمة هورست للحركة البنيانية الكسرية. أف ب أعطى فارس بناء حركة براونية عادية كحد أقصى من المشي العشوائي بسيط في عام 1961. في وقت لاحق تم تبسيط أسلوبه من قبل رفز (المشي العشوائي في البيئات العشوائية وغير العشوائية، العلم العالمي، سنغافورة، 1990) ثم من قبل شابادوس (ستوديا الخيال العلمي (الرياضيات 31) 1996) 249-297). وهذا النهج طبيعي وطبيعي تماما، وبالتالي يمكن توسيعه ليشمل حالات أكثر عمومية. وبناء على ذلك، فإننا نستخدم المتوسطات المتحركة لسلسلة متداخلة مناسبة من مناحي عشوائية بسيطة تتقارب تقريبا تقريبا بشكل موحد لحركة براونية كسور على التعاقدات عندما H (14، 1). معدل التقارب ثبت في هذه الحالة هو O (N - min (H-14،1-4) سجل N)، حيث N هو عدد الخطوات المستخدمة للتقريب. إذا كان أكثر دقة (ولكن أيضا أكثر تعقيدا) كوملس وآخرون. (1975، 1976) يستخدم بدلا من ذلك لتضمين يمشي عشوائية في حركة براونية عادية، ثم نفس النوع من المتوسطات المتحركة تقريبا تتقارب بشكل موحد تقريبا إلى حركة براونية كسور على التعاقد لأي H (0، 1). وعلاوة على ذلك، يتم تخمين معدل التقارب ليكون أفضل ممكن O (N - H سجل N)، على الرغم من أن O فقط (N - min (H، 12) سجل N) ثبت هنا. ريفو جورنال تيتل سورس سورس 2001، فول. 92، n o 1، ب. 31-60 (17 ريف.) اللغة لانغواد إديتور الناشر إلزيفير، أمستردام، بيس-بس (1973) (ريفو) موتس-كلس أنغلايس إنجليش الكلمات المفتاحية المتوسطات المتحركة وسيميمارتينغاليس وأسعار الخيارات باتريك شيريديتو. قسم الرياضيات، إيث زريتش، تش-8092 زريتش، سويسرا تلقى 30 يناير 2003. المنقح 11 يونيو 2003. قبلت 18 أغسطس 2003. متاح على الانترنت 21 سبتمبر 2003. ونحن نقدم توصيف العمليات الغوسية مع الزيادات الثابتة التي يمكن أن تمثل على النحو التالي وهو متوسط ​​متحرك فيما يتعلق بالحركة البنيانية ذات الوجهين. لمثل هذه العملية نعطي شرطا ضروريا وكافيا ليكون سيميمارتينغال فيما يتعلق الترشيح الناتجة عن حركة براونين من جانبين. وعلاوة على ذلك، نبين أن هذا الشرط يعني أن العملية إما من الاختلاف المحدود أو مضاعف للحركة البنيان فيما يتعلق قياس الاحتمال المكافئ. كطلب نناقش مشكلة التسعير الخيار في النماذج المالية مدفوعة غوسيان المتوسطات المتحركة مع الزيادات الثابتة. على وجه الخصوص، ونحن نستمد أسعار الخيار في نسخة كسور منتظمة من نموذج بلاكسكوليز. العمليات الغوسية تمثيل المتوسط ​​المتحرك سيميمارتينغاليس مقاييس مارتينغال المكافئة تسعير الخيار 1 مقدمة اسمحوا أن تكون مساحة الاحتمال مجهزة بحركة براونية ثنائية الوجه، أي عملية جاوسية متواصلة تركز على التباين لوظيفة صفر على المحور الحقيقي السلبي وترضي لكل t t0، يمكن للمرء أن يحدد عملية غوسية تركز مع الزيادات الثابتة، والغرض من هذه الورقة هو دراسة عمليات النموذج (1.1) بهدف النمذجة المالية. إذا كان (X t) t 0 هو عملية عشوائية على، ونحن تدل على أصغر الترشيح الذي يفي الافتراضات المعتادة ويحتوي على الترشيح ونحن ندل على أصغر الترشيح الذي يفي الافتراضات المعتادة ويحتوي على الترشيح هيكل ورقة كما يتبع. في القسم 2 نذكر نتيجة كارهونن (1950). الذي يعطي الظروف اللازمة والكافية لعملية غاوس مركزية تتمركز في شكل حيث. في القسم 3 نعطي وصفا لتلك العمليات في الشكل (1.1) التي هي - simimartingales ونظهر أنها إما عمليات الاختلاف محددة، أو لكل T (0،)، وهناك مقياس الاحتمال المكافئ تحت (Y) t) t 0، T هو تعدد حركة براونية. في القسم 4 نطبق تحولا تم إدخاله في ماساني (1972) لإنشاء مراسلات واحد إلى واحد بين عمليات غاوس مركزية ثابتة وعمليات غاوس مركزية مع الزيادات الثابتة التي هي صفر ل t 0. وهذا يسمح لنا لتمديد نتيجة كارهوننس إلى تركزت العمليات الغوسية مع الزيادات الثابتة ولإظهار أن كل عملية من النموذج (1.1) يمكن تقريبها من خلال نصف نصف من النموذج (1.1). عن طريق نقل النتائج من القسم 3 إلى إطار العمليات الغوسية المتمركزة الثابتة، نحصل على تمديد نظرية 6.5 من فارس (1992). الذي يعطي شرطا ضروريا وكافيا لعملية من الشكل (1.2) لتكون - simimartingale. في القسم 5 نناقش مشكلة تسعیر الخیارات في النماذج المالیة التي تقودھا عملیات النموذج (1.1). وكمثال على ذلك نحن سعر خيار الدعوة الأوروبية في نموذج بلاكسكوليز كسور منتظم. 2 المتوسطات المتحركة الغوسية الثابتة التعريف 1.2 العملية العشوائية ثابتة إذا كان للجميع، حيث يدل على المساواة في جميع التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة. تعريف 2.2 بواسطة S نشير إلى مجموعة من الوظائف بحيث (t) 0 لجميع t lt0. إذا S. يمكننا للجميع، تعريف في L 2 - sense. ومن الواضح أن عملية ثابتة غاوسية تتمركز. إذا كان ذلك ممكنا، نختار نسخة الحق المستمر. مثال 2.3 دعونا، ل gt0. ثم، S. وهي عملية أورنستينوهلنبيك ثابتة. الملاحظة 2.4 دعونا S. ويمكن أن تظهر عن طريق تقريب مع وظائف مستمرة مع دعم المدمجة، ومن ثم، ر ر ر هو رسم الخرائط المستمر من إلى. وعلاوة على ذلك، حيث يدل على L 2-إغلاق من طول خطي لمجموعة من المتغيرات العشوائية مربع إنتغرابل. وتتبع النظرية التالية من ساتز 5 في كارهونن (1950). نظرية 2.5 (كارهونن، 1950) دعنا نكون عملية غوسية مركزية متمركزة بحيث يمكن أن تستخدم بالضبط نفس الحجج التي تظهر أن نموذج بلاكسكوليز القياسي خالي من المراجحة وكاملة، لإثبات أن الشيء نفسه ينطبق على النموذج ( 5.1). وعلى وجه الخصوص، فإن السعر العادل الفريد لخيار النداء الأوروبي مع النضج T وسعر الإضراب K يعطى بواسطة إذا كان الشكل (i) أو (إي)، فإنه يمكن بسهولة تنظيمه: اختيار التقلبات التعسفية v gt0. حسب الاقتراح 4.4. يوجد لكل GT0 دالة من النموذج (إي) بحيث أن الملاحظة 5.1 (1) اسمحوا سي I مع (0) 0. ومن الواضح أن توزيع العملية (Y ر) ر 0، T يعتمد على وظيفة كاملة. من ناحية أخرى، فإن سعر الخيار (5.2) يعتمد فقط على (0). والسبب في ذلك هو أن سعر الخيار الذي قدمه (5.2) هو الحد الأدنى من الثروة الأولية اللازمة لتكرار خيارات الدفع مع استراتيجية التداول التي يمكن تعديلها بشكل مستمر في الوقت المناسب، ويمكن أن ينظر إليه من (3.9) أن تقلب النموذج (5.1) يعطى بواسطة (0). (2) باستبدال الدالة سي في التمثيل (3.3) بواسطة عملية عشوائية عشوائية (t) t 0، T مع القيم في سي. ينبغي أن يكون من الممكن توسيع نماذج النموذج (5.1) إلى نماذج ذات تقلبات عشوائية. مثال 5.2 (نموذج بلاكسكوليز كسور منتظم) دعونا ثابت ثابت. و C H كما في المثال 3.3 (ب). ثم تساوي العملية، حيث هو فب القياسية، والنموذج المقابل (5.1) هو نسخة كسور من نموذج بلاكسكوليز. ولمعرفة الدليل التجريبي على الارتباط في عوائد أسعار الأسهم، انظر، على سبيل المثال. كوتلاند إت آل. (1995) أو ويلينجر وآخرون. (1999) والإشارات الواردة فيه. في كلبلبرغ و خن (2002) بدافع نماذج سعر الأصول كسور من مظاهرة أن فب يمكن أن ينظر إليه على أنه حد من عمليات الضوضاء النار بواسون. ومع ذلك، فإنه يتبع من نظرية 3.9 (ب) أن (B ر H) ر 0، T ليس نصف سيمينبارتينغال فيما يتعلق الترشيح، ومن المعروف جيدا أنها ليست نصف الدورتين في الترشيح الخاصة بها إما (للحصول على دليل في حالة انظر المثال 4.9.2 في ليبتسر و شيرياف (1989) للحصول على دليل عام انظر ماهيسواران و سيمز (1993) أو روجرز (1997)). ويتبين من نظرية 7.2 في دلباين و ششاشرماير (1994) أن هناك وجبة غداء مجانية مع خطر التلاشي تتكون من استراتيجيات التداول بسيطة - predictable. يمكن العثور على مناقشة مبكرة حول وجود المراجحة في نماذج فبم في ماهيسواران و سيمز (1993). في روجرز (1997) تم إنشاء مراجحة لنموذج فب الخطي، ويظهر أن فب يمكن أن تتحول إلى سيميمارتينغال عن طريق تعديل وظيفة بالقرب من الصفر. استراتيجيات المراجحة الواردة في شيرياف (1998) و سالوبيك (1998) تعمل لنماذج فب الخطي والأسي مع. في شيريديتو (2003) يتم إنشاء المراجحة لنماذج فب الخطي والأسي للجميع. ومن أجل تسوية نموذج بلاكسكوليز الكسري، يمكننا تعديل الدالة (5.3) على النحو التالي: بالنسبة إلى v gt0 و d gt0، تعريف من الواضح أنه بالنسبة إلى gt0 v المعطاة، وبالتالي يمكن أن يظهر في الدليل على الاقتراح 4.4 جميع gt0 هناك إعلان gt0 من هذا القبيل من ناحية أخرى، وبما أن الدالة v، d تكون من الشكل (إي)، فإن النموذج المقابل (5.1) هو خالي من المراجحة وكامل، ويعطى سعر خيار النداء الأوروبي من قبل (5-2). Acknowledgements نمت هذه الورقة من فصل من أطروحة الدكتوراه المؤلفين التي أجريت في إيث زريتش تحت إشراف فريدي دلباين. ويشكر صاحب البلاغ يان روسينسكي ومارك يور على تعليقاته المفيدة وإلى ياسين أت-ساهاليا لدعوتهما إلى مركز بندم للتمويل في برينستون، حيث كتب جزء من الورقة. الدعم المالي من مؤسسة العلوم الوطنية السويسرية و كريدي سويس هو الامتنان. المراجع بلاك أند سكولز 1973 F. بلاك. M. سكولز تسعير الخيارات والمطلوبات الشركات J. بوليت. الاقتصاد. فولوم 81. 1973. ب. 637659 شيريديتو 2002 P. شيريديتو حساسية سعر الخيار بلاكسكوليز لسلوك المسار المحلي لعملية ستوكاستيك نمذجة الأصول الأساسية بروك. ستيكلوف إنست. الرياضيات. فولوم 237. 2002. ب. 225239 شيريديتو 2003 P. شيريديتو أربتريج إن كسور براونيان موشن موديلز تمويل ستوشاست. فولوم 7. إيسو 4. 2003. ب. 533553 تشيرني 2001 تشيرني، A. 2001. عندما يكون المتوسط ​​المتحرك تقرير بحث نصف سنوي رقم 2001-28، مافيستو، الدنمارك. كوتلاند 1995 N. J. كوتلاند. التربية الرياضية كوب. W. ويلينجر عودة سعر السهم ويؤثر جوزيف نسخة كسور من نموذج بلاكشكوليز بروج. Probab. فولوم 36. 1995. ب. 327351 دلباين أند ششاشرماير 1994 F. دلباين. W. شكاشرماير نسخة عامة من نظرية أساسية لتسعير الأصول الرياضيات. آن. المجلد 300. العدد 3. 1994. ص 463520 إمبريشتس أند ميجيما 2002 إمبريشتس، P. مايجيما، M. 2002. عمليات مماثلة. سلسلة برينستون في الرياضيات التطبيقية. مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيو جيرسي. إيمري 1982 M. إيمري كورفاريانس ديس سيميمارتينغاليس غوسينس C. R. أكاد. الخيال العلمي. باريس. فولوم 295. إيسو 12. 1982. ب. 703705 غالشوك 1984 غالشوك، L. I. 1984. جيميان سيميمارتينغاليس. الإحصاءات والتحكم في العمليات العشوائية (موسكو)، الترجمة. سر. الرياضيات. الهندسة بعنوان. أوبتيميزاتيون سوفتوار، نيو يورك، ب. 102121. هاريسون 1984 J. M. هاريسون. R. بيتبلادو. S. M. شايفر عمليات السعر المستمر في الأسواق الاحتكاك لها الاختلاف لانهائي J. الأعمال. المجلد 57. 1984. ص 353365 هيتسودا 1968 M. هيتسودا تمثيل العمليات الغوسية المعادلة لعملية ويينر أوساكا J. الرياضيات. فولوم 5. 1968. ب. 299312 جين أند مونراد 1982 N. C.Jain. D. مونراد غوسيان كواسيمارتينغاليس Z. وارسش. Verw. Gebiete. المجلد 59. العدد 2. 1982. ص 139159 جيولين أند يور 1993 جيولين، T. يور، M. 1993. موينس موبيلز إت سيميمارتينغاليس. سمينير دي بروبابيليتس، فول. السابع والعشرون، محاضرات في الرياضيات، رقم 1557، سبرينغر، برلين، ص 5377. كاراتزاس أند شريف 1991 I. كاراتزاس. S. E. شريف براونيان الحركة و ستوشاستيك حساب التفاضل والتكامل. 1991. سبرينغر، برلين كارهونن 1950 K. كارهونين بير داي ستروكتور ستاتيونرير زوفليجر فونكتيونن أرك. المجلد 1. العدد 3. 1950. ص 141160 كليبلبرغ وخن 2002 كلبلبرغ، C. خن، C. 2002. كسور حركة براونية كحد أدنى من بواسون عمليات الضوضاء النار مع تطبيقات للتمويل. ما قبل الطباعة. نايت 1992 F. B. فارس أسس عملية التنبؤ. 1992. أوكسفورد ونيفرزيتي بريس، أوكسفورد كولموغوروف 1940 A. N. كولموغوروف وينيرش سبيرالين أند أوند إينيج أندري إنتيرسانت كورفن إم هيلبرتشن روم C. R. (دوكلادي) أكاد. الخيال العلمي. أورس (N. S.). فولوم 26. 1940. ب. 115118 ليبتسر أند شيرياف 1989 R. Sh. Liptser. A. N. نظرية شيرياف مارتينجاليس. 1989. كلور أكاديميك بابليشر، دوردرشت، هينغانت، ما ماهيسواران أند سيمس 1993 ماهيسواران، S. سيمس، C. A. 1993. الآثار التجريبية لأسواق الأصول الخالية من المراجحة. نماذج وطرق وتطبيقات الاقتصاد القياسي، بيتر، C. فيليبس، B. (إدس.)، باسل بلاكويل، أكسفورد. ماندلبروت وفان نيس 1968 ب. ماندلبروت. J. W. فان نيس الكسور البراونية الاقتراحات والكسور الضوضاء والتطبيقات سيام Rev. المجلد 10. 1968. ص 422437 ماساني 1972 P. ماساني على الحلزون في هيلبرت الفضاء I. نظرية بروباب. تطبيق ورقة. المجلد 17. 1972. ب. 119 بروتر 1990 P. بروتر ستوشاستيك التكامل والمعادلات التفاضلية. 1990. سبرينجر، برلين روجرز 1997 L. C.G. روجرز المراجحة مع كسور حركة براونية الرياضيات. المالية. فولوم 7. إيسو 1. 1997. ب. 95105 ريفوز أند يور 1999 D. ريفوز. M. يور المستمر مارتينغاليس وحركة براونيان. 1999. سبرينجر، برلين سالوبيك 1998 D. M. سالوبيك التسامح إلى التحكيم ستوشاست. معالجة. تطبيق ورقة. المجلد 76. العدد 2. 1998. ص 217230 سامورودنيتسكي وتاقو 1994 G. سامورودنيتسكي. الآنسة. عمليات طقس مستقرة غير غوسية عشوائية. 1994. تشابمان أمب هول، نيو يورك سامويلسون 1965 P. A. سامويلسون نظرية العقلانية من تسعير الصناعة إندستريال. تدبير. Rev. فولوم 6. إيسو 2. 1965. ب. 1331 شيرياف 1998 شيرييف، A. N. 1998. على المراجحة والتكرار لنماذج كسورية. تقرير بحثي رقم 1998-20، مافيستو، الدنمارك. ستريكر 1977 C. ستريكر كواسيمارتينغاليس، مارتينغالس لوكالس، سيميمارتينغاليس، إت فيلتراتيونس ناتوريليس زيت. فر واهرسش. أوند فيرو. Gebiete. فولوم 39. إيسو 1. 1977. ب. 5564 ستريكر 1983 C. ستريكر سيميمارتينغاليس غوسينيسابليكاتيون أو بروبلم دي لينوفاتيون Z. واهرسش. Verw. Gebiete. المجلد 64. العدد 3. 1983. ب. 303312 ستريكر 1984 ستريكر، C. 1984. كلكز ريماركيس سور ليس سيميمارتينغاليس غوسينس إت لي بروبلم دي لينوفاتيون. محاضرات في علم التحكم والمعلومات، المجلد. 61، سبرينجر، برلين، ب. 260276. ويلينجر 1999 W. ويلينجر. الآنسة. Taqqu. V. تيفيروفسكي أسعار سوق الأوراق المالية والاعتماد على المدى الطويل المالية ستوكاست. فولوم 3. إيسو 1. 1999. ب. 113 حقوق النشر 2003 إلزيفير B. V. جميع الحقوق محفوظة. نقلا عن مقالات ()